Sí, hay un problema de compatibilidad. Las notas se actualizaron en iOS 9 y OS X El Capitán, y no puede sincronizar las versiones del sistema operativo antes y después de la actualización. Tendrá que actualizar su Mac a El Capitán o Sierra (lo que debería hacer de todos modos, ya que Mavericks pronto dejará de recibir correcciones de seguridad, si es que aún no lo ha hecho).

Como solución alternativa, puede utilizar un navegador web para acceder a las notas en la nube a través de la aplicación web. No es tan conveniente como la aplicación nativa, pero puede obtener las notas en enlace

Usa Fluid para crear una aplicación de Notes falsa

Siguiendo la sugerencia de @Mike Scott de usar un navegador web para administrar las Notas en su cuenta de iCloud, Recomendaría usar Fluid para crear una aplicación de Notes falsa.

Así es como lo estoy haciendo ahora mismo en mi MacBook muy viejo mientras espero la disposición de mi Mac. De hecho, me gustó tanto este método que también creé una aplicación de Fluid para los recordatorios.

Procedimiento:

1. Descargue aquí la última versión de Fluid compatible con Mavericks.
2. Instale como de costumbre e inicie la aplicación.
3. En el campo URL, introduce esto: enlace
4. En el campo Nombre, introduzca, por ejemplo, "Notas (Fluid)".
5. Crea la aplicación.

Opcional pero útil

6. Inicie la aplicación "Notas (Fluid)" y abra sus Preferencias.
7. En "General", cambie el ícono de la aplicación: busque alguna imagen, o mejor, simplemente seleccione la aplicación incorporada de Notes.
8. En "Comportamiento", asegúrese de que "solo oculta las ventanas" está seleccionado.

PS:
Puedes usar esta aplicación fluida como un navegador; por lo tanto, puede crear nuevas pestañas para administrar notas diferentes en la misma ventana.