Creo que hemos establecido que en el momento en que se hizo esta pregunta, te dejaron a merced de tu operador. Hubo soluciones alternativas, como conectar un cable AUX a una computadora y grabar esos correos de voz, pero muchos de ellos eran bastante incómodos o con pérdidas (o cuestan dinero).
Afortunadamente, a partir de iOS 9, Apple agregó la opción de convertir los correos de voz en notas de voz (en las compañías que admiten Correo de voz visual ).
Simplemente abre Compartir hoja en un correo de voz que quieras guardar, luego selecciona Voice Memos
.
Se supone que las notas de voz se deben sincronizar a través de iCloud (aunque mis resultados han sido irregulares con eso), y mi experiencia ha sido que también se incluyeron en sus copias de seguridad de iTunes e iCloud.
También puede guardar sus correos de voz en iCloud Drive , AirDrop desde su antiguo iPhone a su nuevo (aunque eso requiere al menos un iPhone 5), etc.
No sé qué tan relevante es esta pregunta para el OP, pero si mantuvieron su antiguo iPhone 4s, es elegible para actualizar a iOS 9 y, por lo tanto, transferir esos correos de voz que han estado esperando todo este tiempo.