Tener una contraseña separada para Game Center

Sí y no :-)

• Si usa su ID de Apple para iniciar sesión en Gamecenter, debe usar la misma contraseña que para todos los otros lugares donde usa su ID de Apple para iniciar sesión.
• Puedes crear una nueva ID de Apple en icloud.com y usarla para Gamecenter

Hay una manera de hacer esto con un ID de Apple secundario y no es muy conveniente.

• Cerrar sesión > Iniciar sesión > Cerrar sesión cuando quieras jugar o salir del centro de juego