También tengo este problema (2012 Mac con El Capitan 10.11.5). No tuve no este problema en mi Mac Mini 2007 con 10.6.8 con una configuración similar (excepto con DVI en lugar de HDMI). Cuando cierro el control de pantalla o el TouchPad de Mac en iOS, o cambio las aplicaciones de iOS o bloqueo el teléfono, el Mac Mini apaga el video externo.
La solución que he encontrado es:
Presione pausar / reproducir en Apple Remote (el control remoto infrarrojo físico, no una aplicación) después de iniciar el video, antes de cerrar el uso compartido de pantalla. Entonces deberías poder cerrar el uso compartido de pantalla y la pantalla permanecerá encendida. También he hecho esto con el mouse Bluetooth de Apple y funciona también.
También puedes lograr esto despertando el Mac Mini con el control remoto antes de iniciar el uso compartido de pantalla, si lo recuerdas. Aunque molesto ya que a menudo se abrirá y comenzará a reproducir iTunes.
La Mac parece necesitar un poco de entrada de un dispositivo físico (mouse o control remoto) después de despertarla para evitar que la pantalla vuelva a estar en modo de suspensión.
También voy a probar la casilla de verificación Gestión remota para ver si eso ayuda.