En la aplicación Apple Notes, veo una carpeta ICLOUD y una carpeta GMAIL. Cuando selecciono "Editar" - > "Mover todo" la única opción es seleccionar ICLOUD. GMAIL no es una opción.
Puedo copiar notas en la carpeta de ICLOUD (pero tengo un montón de notas y eso parece molesto) y también puedo "Guardar en archivos" en mi cuenta de Drive. En ambos casos, la nota llega a mi cuenta de Google, por lo que no creo que sea un problema de cuenta.