TL; DR: es posible que tenga un problema con la fecha / los certificados o con el lado desordenado del servidor de Apple: ponerse en contacto con el servicio de asistencia para encontrar una solución es la "respuesta" y es probable que no haya logrado que esto suceda.
Este es un error agravante y ha existido durante bastante tiempo (desde iOS 9 a iOS 10 es cuando lo experimenté por primera vez).
Estoy seguro de que es un error ya que nunca, nunca he usado la contraseña para los otros dos miembros de la familia que compran aplicaciones que instalé utilizando la App Store y mi ID / contraseña. Además, si esto se rompiera para todos, todo el tiempo, se explicaría en un artículo de KB o se solucionaría.
Todavía no tengo a nadie del soporte de Apple que termine con algo que no sea ¯ \ _ (ツ) _ / ¯ y tengo que eliminar las aplicaciones y volver a instalarlas.
Espero que alguien más pueda obtener más detalles o señalar algo que se me haya escapado y aún mejor, espero poder regresar y editar esto para decir que se solucionó cuando llegue ese día.