Prueba esto:
Instala Boxcar en tu iPhone. Crear una dirección de correo electrónico de reenvío de Boxcar. Después de crearlo, agregue la dirección de correo electrónico de reenvío de Boxcar en su Configuración de GMail en "Reenvío y POP / IMAP".
En tu GMail Settings crea un nuevo filtro. Bajo los criterios de búsqueda "Tiene las palabras" ingresar "en: importante". Pruebe su nuevo filtro haciendo clic en "Prueba de búsqueda". Si obtiene sus mensajes mostrados desde la bandeja de entrada de Prioridad, entonces el filtro funciona.
Ahora, en la pestaña "Crear un filtro", marque "Reenviarlo a" a la dirección de correo electrónico de reenvío de Boxcar. Ahora debería recibir una notificación de inserción desde la bandeja de entrada de Prioridad.
AVISO: no puedo asegurarte que esto funcionará ya que no lo probé.