Obtienes el sonido de notificación con cada evento de inserción que resulta en un nuevo mensaje a cualquier buzón.
A Google le gusta enviar correo a todos los correos y también a la bandeja de entrada, por lo que esa es la causa probable de los dos eventos de inserción. Podría hacer una regla temporal para omitir la bandeja de entrada de todos los mensajes y probar para confirmar que esta es la causa raíz. El teléfono los ve como dos mensajes, porque en realidad son dos mensajes que llegan en diferentes momentos a diferentes buzones. No conozco una forma de marcar el Todo el correo que se lea siempre, pero quizás los filtros de Google sean lo suficientemente poderosos para que esto suceda en su cuenta.
Hasta que (o si) Google cambia las cosas para empujarlas todas a la vez, puede habilitar el control sobre las carpetas / etiquetas en la configuración de etiquetas. Al controlar el estado de Mostrar en IMAP ... , debería poder evitar el segundo toque.
También puede intentar configurar reglas para evitar que un mensaje llegue a más de una carpeta como un mensaje no leído. iOS no se sincroniza con los mensajes leídos, solo se sincroniza para cambiar el recuento no leído en una carpeta.
Por último, iOS ha cambiado el comportamiento de la aplicación de correo móvil en el pasado para funcionar mejor con el correo de Google. Es una queja común, y también podría solucionarse con un cambio en el correo en iOS.