¿Ha intentado iniciar su iMac en Modo de disco de destino ?
Para hacer esto, apague su iMac y luego vuelva a iniciarlo asegurándose de mantener presionada la tecla T hasta que vea un icono en la pantalla.
Si eso funciona, entonces puedes usar este modo para acceder a tu disco duro desde otra Mac (o incluso una PC con Windows). Sin embargo, si usa una computadora con Windows, debe tener las conexiones correctas y también ser capaz de leer la unidad de un Mac, generalmente con controladores adicionales como MacDrive, TransMac, MacDisk o HFSExplorer instalado.
Hablando de conexiones, no especificaste qué modelo de iMac tienes. Normalmente, usaría un cable apropiado para conectar las dos computadoras a través de su puerto FireWire o Thunderbolt. USB no es compatible.
Resumen
En pocas palabras, si puede hacer que su iMac se inicie en el modo de disco de destino, puede conectarlo a otra computadora (casi siempre otra Mac) y el disco duro de su iMac aparecerá como una unidad externa en la otra computadora. Si es así, copia todos los archivos que puedas de este a otra unidad.
Debo advertirle que parece que su disco duro ha fallado, y que esto no funcione. Además, incluso si lo hace, no intentaría reformatearlo para seguir usándolo. Realmente deberías reemplazar la unidad o usar una unidad externa como tu unidad de inicio.
Además, si puede iniciar desde una unidad externa, otra opción es simplemente hacer eso e intentar copiar en sus datos de esa manera (es decir, desde la unidad interna a otra unidad). Esto evita la necesidad de probar el modo de disco de destino.