Si utiliza Gmail, no hay parámetros accesibles por el usuario para limitar la cantidad de correo que iOS descarga en su dispositivo, pero según mi experiencia, el correo electrónico antiguo se descarga "a pedido", mientras navega por los buzones.
La forma más fácil de deshacerse del letrero no leído es ir a través de enlace y eliminar, archivar o marcar como leído todo el correo electrónico no leído. . Eso se sincronizará tarde o temprano con su dispositivo si está configurado correctamente.
Si por casualidad se configura con el protocolo POP3 (en lugar de IMAP), la forma más fácil sería borrar y agregar nuevamente. Esto puede resultar problemático porque, dependiendo de la configuración y configuración, puede perder el correo electrónico al eliminar la cuenta en su dispositivo.
Puede resolverse por sí solo: si no lo ha usado por un tiempo y está configurado con IMAP, y esos correos electrónicos están marcados como "leídos" en el servidor, es posible que el dispositivo se haya retrasado en la actualización la información.