Si su teléfono está vinculado a una cuenta de iCloud, intente navegar a enlace e inicie sesión con sus credenciales. Una vez que haya iniciado sesión, hay una aplicación de Contactos que debe contener su libreta de direcciones.
Si no tienes iCloud, puedes usar iTunes como se indicó anteriormente, pero no te permitirá acceder a tus contactos directamente. Pruebe aplicaciones alternativas como Syncios, Appandora o iTools.
Si esa no es una opción, puede intentar hacer una copia de seguridad de su antiguo iPhone con iTunes y restaurarlo en otro iPhone.
Otra opción es reemplazar la pantalla y esperar lo mejor. Si bien la reparación de un 4S puede no tener sentido, hay reacondicionados baratos o pantallas OEM disponibles. Si no quieres usarlo después, hasta hace un gran regalo para cualquier niño. Reemplazar una pantalla en un iPhone más nuevo (5 y superior) es muy fácil, pero reemplazar una en un 4 o 4S no es para los más débiles de corazón.
Si nada de lo anterior te funciona, me temo que es un caso perdido.