Si su teléfono tiene bloqueo de activación, tendrá que obtener el control del antiguo ID de Apple para eliminar la cuenta. El dispositivo debería seguir funcionando, pero no podrá iniciar sesión con la nueva cuenta hasta que la antigua esté bajo su control.
Puede leer los detalles y qué hacer con una contraseña olvidada en:
Si no tiene el bloqueo de activación, abra la aplicación de configuración y toque iCloud
Deslice hacia arriba para ver la parte inferior de la pantalla y presione "Eliminar cuenta": responda lo que quiera sobre cualquier contenido y sabrá si necesita la contraseña cuando esté lista para eliminar su antigua cuenta.
Además, no es muy fácil o, a menudo, incluso posible evitar el bloqueo de activación, ya que eso anularía el propósito cuando alguien roba el dispositivo.
Si no está en iOS 7 o posterior, edítelo en su pregunta, ya que podría tener otras opciones.