Simplemente llamaría a un representante de la versión en el teléfono, iré a una tienda de Verizon o me pondré en contacto con Apple de cualquiera de esas formas si quiere una respuesta definitiva.
Dicho esto, me imagino que ese iPhone sin SIM funcionaría con Verizon o con las otras tres compañías debido a que no tiene que especificar en cuál de ellos desea que esté el iPhone. Aunque no podría estar seguro.
Además, siempre que su tarjeta SIM en su teléfono anterior sea una tarjeta nano-SIM, entonces se ajustará perfectamente a su nuevo iPhone. Eso es todo lo que debe hacer para activar su iPhone, solo tiene que colocar la tarjeta SIM en él.
P.S. Si tiene la intención de mantener su iPhone por un par de años, sería mejor que compre un nuevo iPhone 6S o un usado iPhone 5S o iPhone 6, no un nuevo iPhone 5S. Si bien un 5S está bien hoy, en un par de años se sentirá un poco anticuado (como usar un iPhone 4S hoy), esto es especialmente malo ya que cuesta al menos $ 550, según el modelo que obtenga. La misma configuración del iPhone 6S es $ 200 más, pero valdría la pena, y realmente apreciarías comprar un modelo más nuevo en un par de años. Sin embargo, si no desea gastar más de lo que cuesta un nuevo 5S, solo puede comprar un iPhone 5S usado por unos $ 300 en eBay, y un par de cientos más para un iPhone 6 usado. Tomo un iPhone 6 usado sobre un nuevo iPhone 5S cualquier día, pero quizás sea solo yo.