Si su dispositivo iOS está en la versión 5.0 o superior, entonces sí, puede hacerlo directamente desde el teléfono yendo a Configuración / General / Actualización de software.
Si estás en iOS 4.x entonces no, necesitarás una computadora para hacer esto.
Para actualizar en su situación, recomendaría los siguientes pasos:
1) En su nueva computadora portátil, abra iTunes, y en las preferencias en la pestaña de dispositivos, asegúrese de evitar que los iPods, iPhones e iPads se sincronicen automáticamente
2) Conecte su iPhone a la nueva computadora portátil y, en iTunes, seleccione el iPhone en el panel izquierdo.
3) Haga clic en Buscar actualizaciones.
Debería encontrar una versión más reciente y comenzar a descargar el archivo. Ahora puede desconectar su iPhone de su nueva computadora portátil.
Una vez que haya descargado este archivo, debería poder encontrarlo en un sistema OSX en su carpeta de inicio / biblioteca / Actualizaciones de software de iTunes / iPhone. En Windows, debería estar en la carpeta de perfil de usuario \ Datos de aplicación \ Computadora de Apple \ iTunes \ Actualizaciones de software de iPhone.
Puedes copiar este archivo a tu computadora antigua y luego conectar tu iPhone a eso.
En una Mac, mantenga presionada la tecla Opción (alt en teclados modernos) (cambiar en Windows) y haga clic en Buscar actualizaciones. Ahora debería poder navegar manualmente al archivo ipsw que acaba de copiar.
Ahora debería iniciar el proceso de actualización en tu iPhone.