Me parece recordar haber tenido una situación similar hace un par de años. No recuerdo los pasos exactos que tomé para corregir, pero empezaría por desconectarme de la App Store en el dispositivo y luego volver a iniciar sesión.
Si eso no funciona, cierre la sesión nuevamente y luego restablezca (no solo reinicie) los aspectos del dispositivo, luego vuelva a iniciar sesión en la App Store. No dijo qué versión de iOS está ejecutando, por lo que es posible que tenga que revisar las configuraciones un poco, ya que Apple ha cambiado la forma en que se reinicia y lo que se ve afectado. Asegúrese de tener una copia de seguridad del teléfono primero. Con algunas de las nuevas versiones de iOS, puede restablecer la configuración de red antes de restablecer todas las configuraciones. No recuerdo haber tenido que borrar todos los datos, así que creo que puedes omitir esa. ¡Una vez más, asegúrese de tener una copia de seguridad actualizada!
Con el iPhone5, si recuerdo bien, puede mantener presionados los botones de encendido y de la pantalla de inicio durante unos segundos, lo que también causará un reinicio.
Después de intentar cada paso, sugiero que solo intentes descargar una o dos actualizaciones a la vez para asegurarte de que funcione. Y sugiero estar en una red inalámbrica que hayas probado.
HTH,