He instalado una aplicación para iPhone desde AppStore que toma un número de teléfono y busca en una base de datos en línea y luego devuelve un nombre que pertenece al número de teléfono ingresado (y viceversa).
¿Hay alguna forma de que sepa de qué servidor de servicios de fondo está hablando esta aplicación? (¿un nombre de host o una dirección IP)?
Esto solo se aplica a macOS y no a iOS:
Podrías usar Wireshark o lsof que ya está incluido en macOS.
Con lsof puede escribir lsof -i | grep -E "(LISTEN|ESTABLISHED)" en su terminal y le mostrará todas las conexiones que se están comunicando activamente.
Editar: puedes usar un DNS personalizado como pihole para ver qué dominios solicita la aplicación.